Insolite Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution

19:10  30 septembre  2017
19:10  30 septembre  2017 Source:   Slate

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Ce qui est fascinant avec les mathématiques, c'est que même les concepts les plus connus et apparemment les plus simples peuvent continuer à susciter la fascination et à créer l'événement.La démonstration que la mathématicienne américaine Maryanthe Malliaris et son homologue israélien Saharon Shelah viennent de publier, qui prouve que deux ensembles mathématiques infinis ont la même taille, était attendue depuis près de 70 ans. Pourtant, elle concerne des nombres connus de tous.

  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Le premier de ces deux ensembles s'appelle N: c'est l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire 0, 1, 2, 3, et tous les nombres entiers qui suivent. Nul besoin d'être Cédric Villani pour comprendre que cet ensemble est infini.

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  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Le second s'appelle R: c'est l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres que vous connaissez, ceux de la vie réelle. Il inclut les nombres entiers, les nombres décimaux, les nombres rationnels (ceux qui peuvent s'écrire comme des fractions), et même les nombres irrationnels (ceux que l'on ne peut pas écrire comme des fractions, le plus célèbre étant le fameux pi). De -19 à 172,38273601 en passant par 1/3 et pi, tous les nombres sont réels. Et il y en a évidemment une infinité (le «évidemment» ayant été prouvé).

  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

L'une des différences majeures entre les deux ensembles, c'est que si N est un ensemble dit dénombrable (on peut en lister les éléments, même si cette liste serait certes infinie), ce n'est pas le cas de R, comme le prouva le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXè siècle. Pour le dire plus trivialement, on ne peut pas lister les éléments de R: il y en a "trop". C'est un ensemble continu, c'est-à-dire qu'il n'y a pas un nombre, puis le suivant: on peut toujours en trouver un qui se trouve compris entre les deux.

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  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Pour montrer que des ensembles sont de même taille, on établit un jeu de correspondances entre leurs éléments. Comme l'explique cet article de Quanta Magazine, pour montrer qu'un ensemble de voitures et un ensemble de conductrices sont de même taille, il suffit d'attribuer une voiture (et une seule) à chaque conductrice, puis de vérifier qu'il ne reste aucun conducteur sans voiture ni aucune voiture sans conducteur. Ce principe fonctionne exactement de la même façon avec les ensembles infinis.

  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Cantor a par exemple démontré que N était de même taille que l'ensemble des entiers pairs. Il suffit pour cela de «numéroter» les nombres pairs: 0 est le zéroième, 2 le premier, 4 le deuxième, etc.

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Chaque entier pair étant relié de cette façon à un et un seul entier naturel, le principe des automobiles et des conductrices est respecté, ce qui montre que l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers pairs est de même taille. Pas simple à accepter lorsque les ensembles infinis ne vous sont pas familiers: on a l'impression qu'il y a deux fois plus de nombres entiers que de nombres pairs, ce qui n'est vrai que si on considère un ensemble fini de nombres (par exemple c'est vrai si on ne considère que l'ensemble des nombres de 1 à 10).

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  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Cantor a permis d'aplanir les choses. Il y avait au moins deux sortes d'infinis: l'infini dénombrable (celui de N, de l'ensemble des nombres pairs, etc.) et l'infini indénombrable (comme celui de R). La question qui planait depuis environ 70 ans était la suivante: y avait-il d'autres types d'infinis entre ces deux grandes catégories? Des sortes d'infinis intermédiaires? Malliaris et Shelah viennent brillamment de démontrer que non, ce que Cantor avait supposé sans parvenir à le démontrer. Cette propriété, nommée hypothèse du continu, est la première des 23 problèmes présentés par le mathématicien David Hilbert en 1900 comme tenant en échec le monde des mathématiques.

  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Pour démontrer l'inexistence d'autres types d'infinis, Malliaris et Shelah ont prouvé que N et R sont en fait de même taille en «mesurant» chacun de ces ensembles. Merci de ne pas répéter à vos enfants que l'on peut mesurer quelque chose d'infini: les professeurs de mathématiques de sixième passent leur temps à expliquer qu'on ne peut pas mesurer une droite, par exemple.

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  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Pendant de nombreuses décennies, les mathématiciens et mathématiciennes se sont cassé les dents sur ce problème parce que la méthode choisie pour l'aborder n'était vraisemblablement pas la bonne. Beaucoup ont cru toucher la vérité du doigt en étudiant des sous-ensembles bien choisis de N et de R, jusqu'à ce que le mathématicien Paul Cohen débarque avec le forcing, méthode démontrant que l'hypothèse du continu ne pouvait être démontrée à l'aide de la théorie des ensembles. Une découverte qui lui valut d'ailleurs la médaille Fields en 1966.    Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Pour atteindre leur objectif si convoité, Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah ont en fait montré que les nombres p et t (habituellement écrits en lettres gothiques) étaient égaux. Qui sont p et t? Quanta Magazine tente de résumer la signification de chacun de ces nombres bien connus en théorie des ensembles. Bon, ça se complique, vous pouvez aussi passer au paragraphe suivant. p est le plus petit nombre de sous-ensembles infinis de N tel que l'intersection de chacun de ces ensembles ne soit pas vide et tel qu'il n'y ait pas de pseudo-intersection (famille d'ensembles de N tels que chaque élément de la famille est constitué de tous les entiers naturels sauf un nombre fini d'entre eux). Oui, c'est extrêmement compliqué.

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Dessin avec deux feuilles.

  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Ou encore au suivant. Quant à t, il s'agit du plus petit nombre de sous-ensembles de N qui puisse être ordonné tel que les uns soient inclus dans les autres, le tout sans pseudo-intersection non plus. À ce stade, il n'est pas interdit d'avoir décroché, à moins d'aspirer à la médaille Fields.

  Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution © Fournis par Slate

Toujours est-il que c'est en prouvant que p et t étaient égaux (alors que beaucoup imaginaient que p était inférieur à t) que Malliaris et Shelah ont démontré que l'infini de N et celui de R étaient en fait égaux. Il n'existe donc pas d'intermédiaire entre le dénombrable et l'indénombrable, ce qui prouve l'hypothèse formulée par Cantor il y a plusieurs siècles. La prochaine médaille Fields, souvent définie comme le prix Nobel des mathématiques, qui sera remise au cours de l'été 2018, pourrait bien tendre les bras à la chercheuse de l'université de Chicago et à son collègue de l'université de Jérusalem.

Photo cc0 via Pixabay, montage Slate.fr © Deux mathématiciens viennent de prouver que deux infinis étaient égaux, et c'est une révolution Photo cc0 via Pixabay, montage Slate.fr

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Gareth Southgate, le sélectionneur de l’Angleterre, estime que son équipe ne possède pas de grands joueurs en raison de l’absence de résultats en Europe. © Reuters Gareth Southgate, le sélectionneur de l’Angleterre (à droite). Trois Ligues des champions (Liverpool, Manchester United et Chelsea) entre 2005 et 2012 pour cinq finalistes. L’hégémonie des clubs de Premier League à l’échelle européenne s’est étiolée ces dernières années. La transition s’est opérée avec la Liga, qui a mis la main sur les quatre dernières éditions de la plus prestigieuse des compétitions continentales.

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